ContainerWithMostWater

盛最多水的容器

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题目介绍

盛最多水的容器

给你 n 个非负整数 a1,a2,…,an，每个数代表坐标中的一个点 (i,ai) 。在坐标内画条垂直 n 线，垂直线 i 的两个端点分别为 (i,ai) 和 (i,0) 。找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

说明：你不能倾斜容器。

示例 1:

输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49 
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

示例 2：

输入：height = [1,1]
输出：1

示例 3：

输入：height = [4,3,2,1,4]
输出：16

示例 4：

输入：height = [1,2,1]
输出：2

提示：

• n = height.length
• 2 <= n <= 3 * 104
• 0 <= height[i] <= 3 * 104

题目解法

这道题如果没想到双指针，也很简单，下面是自己写的一版。

package algorithm;

public class ContainerWithMostWater {

    public static int maxArea(int[] height) {

        int max = 0;
        for (int i = 0; i < height.length - 1; i++) {
            for (int j = height.length - 1; j > i; j--) {
                int temp = (j - i) * Math.min(height[i], height[j]);
                if (temp > max) {
                    max = temp;
                }
            }
        }
        return max;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] height = {1,8,6,2,5,4,8,3,7};
        System.out.println(maxArea(height));

        height = new int[]{1, 1};
        System.out.println(maxArea(height));

        height = new int[]{4,3,2,1,4};
        System.out.println(maxArea(height));

        height = new int[]{1,2,1};
        System.out.println(maxArea(height));

    }
}

打印：

49
1
16
2

思路：

就是类似于暴力破解。

如果是双指针，如下：

public int maxArea(int[] height) {
        int l = 0, r = height.length - 1;
        int ans = 0;
        while (l < r) {
            int area = Math.min(height[l], height[r]) * (r - l);
            ans = Math.max(ans, area);
            if (height[l] <= height[r]) {
                ++l;
            }
            else {
                --r;
            }
        }
        return ans;
    }

思路：

双指针的思路需要数学证明的。

证明

为什么双指针的做法是正确的？

双指针代表了什么？

双指针代表的是 可以作为容器边界的所有位置的范围。在一开始，双指针指向数组的左右边界，表示 数组中所有的位置都可以作为容器的边界，因为我们还没有进行过任何尝试。在这之后，我们每次将 对应的数字较小的那个指针 往 另一个指针 的方向移动一个位置，就表示我们认为 这个指针不可能再作为容器的边界了。

为什么对应的数字较小的那个指针不可能再作为容器的边界了？

在上面的分析部分，我们对这个问题有了一点初步的想法。这里我们定量地进行证明。

考虑第一步，假设当前左指针和右指针指向的数分别为 x 和 y ，不失一般性，我们假设 x<y。同时，两个指针之间的距离为 t 。那么，它们组成的容器的容量为：

min(x,y)∗t=x∗t

我们可以断定，如果我们保持左指针的位置不变，那么无论右指针在哪里，这个容器的容量都不会超过 x∗t 了。注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。

我们任意向左移动右指针，指向的数为 y1，两个指针之间的距离为 t1 ，那么显然有 t1<t，并且 min(x,y1)≤min(x,y) ：

• 如果 y1≤y，那么 min(x,y1)≤min(x,y)；
• 如果 y1>y，那么 min(x,y1)=x=min(x,y)；

因此有：

min(x,y1)∗t1<min(x,y)∗t

即无论我们怎么移动右指针，得到的容器的容量都小于移动前容器的容量。也就是说，这个左指针对应的数不会作为容器的边界了，那么我们就可以丢弃这个位置，将左指针向右移动一个位置，此时新的左指针于原先的右指针之间的左右位置，才可能会作为容器的边界。

这样以来，我们将问题的规模减小了 1 ，被我们丢弃的那个位置就相当于消失了。此时的左右指针，就指向了一个新的、规模减少了的问题的数组的左右边界，因此，我们可以继续像之前 考虑第一步 那样考虑这个问题：

• 求出当前双指针对应的容器的容量；
• 对应数字较小的那个指针以后不可能作为容器的边界了，将其丢弃，并移动对应的指针。

最后的答案是什么？

答案就是我们每次以双指针为左右边界（也就是「数组」的左右边界）计算出的容量中的最大值。